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Matemática

6) Resolva as equações exponenciais tipo 7) Resolva as equações exponenciais tipo

8) Resolva as equações exponenciais tipo

9) Resolva as inequações exponenciais

10) Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais:

11) Classificar as funções em crescentes e decrescentes:

6) Resolva as equações exponenciais tipo 7) Resolva as equações exponenciais tipo 8) Resolva as

1 Resposta

Isabelly Alison

Isabelly Alison

0 há 6 meses

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Equações exponenciais

Resolvem-se estas equações , que têm a variável em expoente ( dá

chamarem-se exponenciais) , fazendo com que no primeiro e no segundo

membros se isolem potências com a mesma base.

Potências com mesma base, para serem iguais necessitam ter o mesmo

expoente.

6) a)

$3^{x+2}=3^7$

x + 2 = 7

x = 5

6 b) $2^{x}=16$

$2^{x} =2^{4}$

x = 4

6 c) $3^{x}=frac{1}{27}$ ⇔ $3^{x}=frac{1}{3^3}$ ⇔ $3^{x}=(frac{1}{3}) ^{3}$ ⇔ $3^{x}=(frac{3}{1}) ^{-3}$

⇔ $3^{x} =3^{-3}$

x = - 3

Observação 2 → Mudança de sinal em expoente de potência

Para mudar o sinal no expoente de uma potência, primeiro temos que

inverter a fração que é a base da potência.

Exemplo:

$(frac{1}{3} )^{3} =(frac{3}{1} )^{-3} =3^{-3}$

6 h) $5^{x}=25$

$5^{x}=5^{2}$

x = 2

i) $7^{x} =sqrt[3]{49}$

$7^{x} =sqrt[3]{7^{2} }$

$7^{x} =7^{frac{2}{3} }$

x = 2/3

j) $2^{3x} =frac{1}{8}$

$frac{1}{8} =frac{1}{2^{3} } =(frac{1}{2} )^{3} =(frac{2}{1}) ^{-3} =2^{-3}$

$2^{3x} =2^{-3}$

3x = -3

x = - 1

7)

a)

$3^{x+1}+3^{x+2} =12$

Observação 3 → Produto de potências com a mesma base

Mantém-se a base e adicionam-se os expoentes.

Exemplo:

$5^{2} *5^{3} = 5^{2+3}=5^{5}$

Mas o que é importante é que quem resolve problemas matemáticos perceba que pode fazer " o contrário", sempre que necessite.

$5^{5} =5^{2}*5^{3}$

$3^{x+1}+3^{x+2} =12$

Vou desdobrar cada potência de base 3

$3^{x}*3^{1} +3^x*3^2 =12$

$3^{x}*3 +3^x*9 =12$

Colocar $3^{x}$ em evidência

$3^{x}(3+9) =12$

$3^{x}*12=12$

Dividir ambos os membros por 12

$3^{x } =1$

Observação 3 → Potência de expoente zero

Qualquer número, diferente de zero, elevado a zero, é igual a 1.

Exemplo:

$3^{0} =1$

------------

$3^{x } =3^0$

x = 0

b) $2^{x+1}+2^{x+3}=20$

Mesmo procedimento de alínea a)

$2^{x}*2^1+2^{x}*2^3=20$

$2^{x}*(2^1+2^3)=20$

$2^{x}*10=20$

$2^{x} =frac{20}{10}$

$2^{x} =2$

$2^{x} =2^1$

x = 1

8 a )

$3^{(x^{2} -7x+12)} =1$

atendendo a que $1=3^{0}$

$3^{(x^{2} -7x+12)} =3^{0}$

$x^{2} -7x+12 =0$

Equações do 2º grau podem ser resolvidas por este método:

$x^{2} -Sx+P=0$

onde

S = soma das raízes da equação = $-frac{b}{a}$

P = produto das raízes = $frac{c}{a}$

a ; b ; c os coeficientes de equação do 2º grau

a x² + bx + c = 0

Vai-se ou por perspicácia ou por tentativas

P = 3 * 4 = 12

S = 3 + 4 = 7

$x_{1} =3$ ∨ $x_{2} =4$

b)

$9^{x} -12*3^{x} +27=0$

Método diferente.

$9^{x} =(3^{2})^x=(3^{x} )^2$

Faz-se substituição de variável. $3^{x} =y$

Pretendemos ficar com equação do 2º grau

$y^{2}-12y+27=0$

P = 3 * 9 = 27

S = 3 * 9 = 12

y = 3 ∨ y = 9

voltar à variável inicial

$3^{x} =3$

$3^{x} =3^1$ x = 1

$3^{x}=9$

$3^{x} =3^{2}$ x = 2

9 a)

a) $5^{x}$

$5^{x}$

x < 1 ou x ∈ ] - ∞ ; 1 [

b) $2^{x}leq 32$

$2^{x}leq 2^{5}$

x ≤ 5 ou x ∈ ] - ∞ ; 5 ]

c) $8^{x} leq 32$

Pretende-se sempre ter potências de bases iguais

$8=2^{3}$ e $32 = 2^{5}$

$(2^{3}) ^{x} leq 2^5$

$(2) ^{3x} leq 2^5$

3xleq 5

$xleq frac{5}{3}$ ou x ∈ ] - ∞ ; 5/3 ]

d) $2^{x} leq sqrt{32}$

$sqrt{32} =sqrt[2]{2^{5} } =2^{frac{5}{2} }$

Então:

$2^{x}leq 2^{frac{5}{2} }$

$xleq frac{5}{2}$ ou x ∈ ] - ∞ ; 5/2 ]

e) $9^{x} leq 27$

$(3^{2}) ^{x} leq 3^{3}$

$3^{2x}leq 3^{3}$

2x ≤ 3

x ≤ 3/2 ou x ∈ ] - ∞ ; 3/2 ]

f) $0,1^{3x} geq 0,1^{x+1}$

Potências tinham base maior que 1.

O sentido da inequação era aplicado igualmente no resultado final

Base está entre 0 e 1 , logo o sentido da inequação resultado,

vai ser o oposto ao sentido inicial.

$0,1^{3x} geq 0,1^{x+1}$

3x ≤ x + 1

3x - x ≤ 1

2x ≤ 1

x ≤ 1/2 ou x ∈ ] - ∞ , 1/2 ]

10 a )

$f(x)=3^{x}$ ( ver gráfico em anexo 1 )

b) $f(x) =frac{1}{3} x$ ( ver gráfico em anexo 2 )

---------------------------------

11 a) $y=10^{x}$

Observação 4 → Estudo monotonia de funções

Quando $x_{2} x_{1}$ ⇒ $f(x_{2}) f(x_{1})$ a função é crescente .

Quando $x_{2} x_{1}$ ⇒ $f(x_{2})$ a função é decrescente .

$y=10^{x}$

x = 0 y = 1

x = 1 y = 10

Quando o valor de "x" aumentou, também aumentou o valor de f (x)

Crescente

11) c) $y=(frac{7}{2} )^{x}$

x = 0 ⇒ y = 1

y = 1 ⇒ y = 7/2 ⇔ y = 3,5

Quando o valor de "x" aumentou, também aumentou o valor de f (x)

Crescente

11) e) $y=(frac{3}{2} )^{x}$

x = 0 ⇒ y = 1

y = 1 ⇒ y = 3/2 ⇔ y = 1,5

Quando o valor de "x" aumentou, também aumentou o valor de f (x)

Crescente

Bons estudos.

----------------------------

Símbolos: ( ∈ ) pertence a ( ⇔ ) equivalente a ( ⇒ ) implica

( * ) multiplicação ( / ) divisão ( ∨ ) ou ( ∞ ) infinito

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