os pontos são vértices de um triângulo retângulo. quais são os valores das medidas da hipotenusa e da área desse triângulo nessa ordem?

A alternativa C é a correta. Dados os pontos (3,2) , (5,2) e (3,6), vértices de um triângulo retângulo. A medida da hipotenusa é de 2√5 e a área do triângulo vale 4.

A partir da fórmula do ponto a ponto, podemos determinar os comprimentos dos lados do triângulo e a partir do cálculo da área por determinante, calculamos a área do triângulo pedido.

Geometria Analítica

• Passo 1: Comprimento da hipotenusa

Dados dois pontos no plano cartesiano: A = ( xₐ, xᵦ) e B = (yₐ, yᵦ). A distância entre eles pode ser calculada pela fórmula:

d = √((yᵦ - yₐ)²+(xᵦ - xₐ)²)

Podemos utilizar essa fórmula para calcular os comprimentos do triângulo. Aquele que apresentar o maior comprimento, será a hipotenusa.

d₁ = √((2 - 2)²+(5 - 3)²)

d₁ = √(0+(2)²)

d₁ = 2

d₂ = √((6 - 2)²+(3 - 3)²)

d₂ = √((4)²+ 0)

d₂ = 4

d₃ = √((6 - 2)²+(3 - 5)²)

d₃ = √((4)²+(-2)²)

d₃ = √(20)

d₃ = 2√5

Como o maior valor é 2√5, esse é o comprimento da hipotenusa.

• Passo 2: Área do Triângulo

Sendo A, B e C os pontos relativos aos vértices de um triângulo. Podemos determinar a área do triangulo pelo módulo do determinante:

Assim, substituindo as coordenadas do ponto na fórmula anterior:

Calculando o determinante:

A = 0,5 × [( 6 + 30 + 6 ) - (6 + 10 + 18)]

A = 4

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Espero ter ajudado, até a próxima :)