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Considere os vetores u=(x, y,z) e v=(a, b,c). Dizemos que u e v são colineares se * a]existem número reais

Considere os vetores u=(x, y,z) e v=(a, b,c). Dizemos que u e v são colineares se * a]existem número reais a, b diferentes de zero tais que a. u-b. v é um vetor diferente de zero.
b]existem número reais a, b diferentes de zero tais que a. u+b. v é um vetor diferente de zero.
c]todo vetor é combinação linear de u e v.
d]existe um escalar k tal que u = k. v.
e]nda

1 Resposta

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1) Para encontrarmos a direção de um vetor ortogonal a u e v simultaneamente, podemos calcular o produto vetorial entre os dois:

u imes v=left|egin{matrix}vec i&&vec j&&vec k1&&0&&1�&&-2&&1end{matrix}ight|=(0-(-2))vec i+(0-1)vec j+((-2)-0)vec k\ u imes v=(2,-1,-2)

Dessa forma, queremos encontrar o vetor a que, por ser ortogonal a u e v, é um múltiplo do vetor u imes v. Logo, a é da forma: vec a=t(2,-1,-2)iff vec a=(2t,-t,-2t). Sabemos que o módulo de a é 2. Assim:

||vec a||=2iffsqrt{(2t)^2+(-t)^2+(-2t)^2}=2iff sqrt{9t^2}=2iff\9t^2=4iff t^2=dfrac{4}{9}iff t=pmdfrac{2}{3}

Portanto, há duas possibilidades para o vetor a:

vec a_1=left(2cdotdfrac{2}{3},(-1)cdotdfrac{2}{3},(-2)cdotdfrac{2}{3}ight)iff\oxed{vec a_1=left(dfrac{4}{3},-dfrac{2}{3},-dfrac{4}{3}ight)}

vec a_2=left(2cdotleft(-dfrac{2}{3}ight),(-1)cdotleft(-dfrac{2}{3}ight),(-2)cdotleft(-dfrac{2}{3}ight)ight)iff\oxed{vec a_2=left(-dfrac{4}{3},dfrac{2}{3},dfrac{4}{3}ight)}

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2) Como o vetor z é paralelo a u, podemos dizer que tem a forma: z=tu=t(1,0,2)iff z=(t,0,2t), onde t é um escalar. Fazendo o produto escalar dado:

zcdot v=2iff (t,0,2t)cdot(1,-1,-1)=2iff \tcdot1+0cdot(-1)+2tcdot(-1)=2iff t-2t=2iff\-t=2iff oxed{t=-2}Longrightarrowoxed{oxed{z=(-2,0,-4)}}

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